Справочник по математике для экономистов

2.13. общее решение системы линейных уравнений в векторной форме

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в векторной форме:

A   + А2х2 + ...+ Апхп -В. (2.13)

Если в системе (2.13) заменить все свободные члены нулями, то получим однородную систему

Ахх^ + А2х2 +... + Апхп = 0.    (2.14)

Систему (2.14) называют приведенной для исходной системы уравнений (2.13).

Произвольное решение Xсовместной системы уравнений (2.13) определяется формулой

X=F0 + Fl + X2F2 + ... + XkFk, (2.15)

где FQ — какое-нибудь решение системы (2.13); Fv F2, Fk — фундаментальная система решений системы уравнений (2.14); A,j, Х2,...,'кк — произвольные действительные числа.

Формула (2.15) называется общим решением в векторной форме системы уравнений (2.13).

О Пример. Найти общее решение в векторной форме системы линейных уравнений

Зх^ Н" \%2 "Н     И- х^ — 43

* х-^    х^ "г* х^ "h     — 4j

2^! + 7х2 + 8х3 - 5х4 = -4.

Общее решение данной системы, найденное методом Гаусса, имеет вид

х1 - (5/2)х2       + (7/2)х4 = 6,

(3/2)х2 + х3 - (3/2)х4 = -2.

Вектор (6, 0, -2, 0) является решением этой системы. Система уравнений

Гх! - (5/2)х2       + (7/2)х4 = 0, {     (3/2)х2 + х3 - (3/2)х4 = 0

 

65 является общим решением приведенной системы. Выбирая для свободных неизвестных х2 и х4 значения, равные координатам векторов ех - (1, 0), е2 = (0, 1), найдем фундаментальную систему решений приведенной системы уравнений: Fx - (5/2, 1, -3/2, 0), F2 - (-7/2, 0, 3/2, 1). Следовательно, общее решение в векторной форме данной системы уравнений имеет вид

 

' 6^

 

'5/2Л

 

'-7/2'

0

-2

 

1

-3/2

+ Х2

0

3/2

, о,

 

ч   0 ,

 

, 1 ,