Справочник по математике для экономистов

2.16. умножение матрицы на число и сложение матриц

По определению, для умножения матрицы А на число к нужно каждый элемент матрицы А умножить на к. Например,

 

' 3

1

-2

4^

 

' 9

3

-6

12>

7

0

3

21

•3 =

21

0

9

63

,-1

2

1

7,

 

6

3

21,

Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (a(J) и В = (by) называется матрица С = (су), элементы которой равны суммам соответственных элементов матриц А и В: с у = а у + by при любых і и у.

Например,

 

'3 2

Г

+

'2

5

7)

 

Ґ 5

7 8'

,8 -1

5,

 

 

0

-40,

 

,15

-1   -35,

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через 0. Для любой матрицы А имеем А + 0 = А.

Матрица А(-1) называется противоположной А и обозначается через -А. Вместо А + (-В) пишут А-В.

Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц (А, В, С — матрицы; к,1 — числа):

Г. А(к1) = (Ак)1.

2°. А + В = В+А.

3°. (А + В) + С=А + (В + С).

4°. А(к + 1)=Ак+А1.

5°. (А + В)к=Ак + Вк.

 

2.17. Умножение матриц

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица AS, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:

 

68

 

Матрица

Число

строк

столбцов

А

т

п

В

п

1

АВ

т

1

та с.р наj-й столбец матрицы В (J — второй индекс элемента с у),

произведению 1-й строки матрицы А (і — первый индекс элемента с т.е.

Су=(аа, аа,ajn)(by, Ьу,Ъп) = ааЬу +айЬу+... + ainbnJ.

О Пример. Найти произведение АВ, если

 

 

А -

 

 

9 -1

3     4    5 ^ 2-3 4 -5     3 11

 

 

В =

'З 2Ї

4        -1

1        -3

ч2 5

Матрица АВ является матрицей размера 3x2. Вычисляем элементы е.. матрицы AS. Имеем:

и

сп = (2, 3,4, 5)(3,4, 1, 2) = 2-3 + 3-4 + 4-1 + 5-2 = 32;

 

69

с12 = (2, 3, 4, 5)(2, -1, -3, 5) = 2 • 2 + 3 • (-1) + 4 • (-3) + 5 • 5 = 14; с21 = (9,2, -3,4)(3,4, 1,2) = 9-3 + 2-4 + (-3)- 1 + 4-2 = 40; с22 = (9,2, -3,4)(2, -1, -3, 5) = 9 • 2 + 2 • (-1) + (-3)(-3) + 4 • 5 = 45; с31 = (-1,-5, З, 11)(3,4, 1, 2) = (-1) ■ 3 + (-5) ■ 4 + 3 ■ 1 + 11-2 = 2; с32 = (-1, -5, 3,11)(2, -1, -3, 5) = (-1) • 2 + (-5Х-1) + 3 • (-3) +11 ■ 5 = 49.

"32 14' Итак,АЄ = 40 45

, 2 49^

Свойства умножения матриц:

Г. (АВ)к = (Ак)В=А(Вк), к - число. 2°. (А + В)С=АС+ВС. 3°. С(А + В) = СА + СВ. 4 (АВ)С=А(ВС).

Произведение матриц зависит от порядка множителей. Например,