Справочник по математике для экономистов

3.18. выпуклые конусы в пространстве r"

 

Выпуклое множество К в пространстве R" называется выпуклым конусом, когда выполняется следующее условие:

если точка М є К и  OL = к ■ ОМ, где к > 0, то L е К.

Следующие множества являются выпуклыми конусами в R":

множество всех точек пространства R" с неотрицательными координатами;

любое подпространство пространства R";

К= {M(xv х2, х3) є R31 х + х - х < 0, хъ > 0} (рис. 3.5).

Пересечение выпуклых конусов всегда является выпуклым конусом.

 

105

Рис. 3.5

Выпуклый конус ^называется конечным (многогранным), если существуют точки Mv М2,Мк такие, что

К - |м є R" | ОМ - ^XjOMt, Xt > 0, / = 1,2,*j.

Например, множество решений однородной системы линейных

л

неравенств ^ayXj ^ О, / = 1,2,/и, является конечным конусом вН".

Конечный конус всегда замкнут. Пересечение двух конечных конусов является конечным конусом.

Если К — выпуклый конус в пространстве R", то множество К* - {L є R" | OL ■ ОМ > 0 для всех Ms К} также является выпуклым конусом в R". Конус К* называется сопряженным (двойственным) конусу К.

В частности, если конус К задается однородной системой ли-

л

нейных неравенств   a^Xj < 0, / = 1,2,..., т, то

 

К* = ^Цхих2,...,хп) є R" | Xj = ffyy,; у, > oj.

Свойства сопряженных конусов:

Г. Сопряженный конус К* всегда замкнут. 2°. Конус, сопряженный конечному конусу, сам будет конечным.

3°. Если .К" — замкнутый выпуклый конус, то К** = К. 106 3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R"

Пусть Ки W— множества в пространстве R". Суммой множеств V+ ^называется множество всех точек Af є R" таких, что

ОМ = OMi + ОМ 2,

гдеА^є V,  М2е W.

Например, суммой множества, состоящего из одной точки Af0 є R2, и прямой / с R2, проходящей через точку О(0; 0), является прямая, проходящая через точку Af0 параллельно прямой / (рис. 3.6).

Свойства суммы выпуклых множеств в пространстве R":

Г. Сумма выпуклых множеств всегда является выпуклым множеством.

2°. Сумма подпространств пространства R" будет подпространством этого пространства.

3°. Сумма вьшуклых конусов в R" является вьшуклым конусом, а сумма конечных конусов — конечным конусом.

Имеют место следующие два утверждения:

1. Множество всех решений системы линейных уравнений

п

Y,auxj =bi> г = 1,2,...,/я

 

107

(если оно не пусто), является суммой множества, состоящего из одной точки, и подпространства пространства R".

2. Множество всех решений системы линейных неравенств

и

 

является суммой выпуклой оболочки конечного числа точек в пространстве R" и конечного конуса.