Справочник по математике для экономистов

5.12. производная параметрически заданной

функции

Рассмотрим функцию у - f(x). Систему соотношений х - ф(0, у - |/(ґ), где а < t < Р, называют параметрическим представлением функции у - f(x), если |/(/) = /((ф(0) ДЛЯ всех t є ]ос, Р[. Переменная t называется в этом случае параметром.

Если функции ф(?) и |/(0 — дифференцируемые и ф'(0 * 0, то существует производная У параметрически заданной функции и

. = у[ = Ш

х    х' ф'(0' Если, кроме того, существуют   и то

у>-

(x'tf

144

При соответствующих предположениях аналогично можно определить производные любого порядка параметрически заданной функции.

Например, если функция у - fx) задана параметрически соотношениями х - a cos3/, у - 6 sin3/ (-00 < t < 00), где а и Ь — положительные постоянные, то y't - 3£sin2/cos/, x't - -3acos2/sin/. При t Ф nk/2 (к - О, ±1, ±2, ...) производная x't Ф 0. Следовательно, при этих значениях / получаем

yi     ЪЬ sin2 /cos/ b

у — — —      — —tg/.

*   x't     За cos2 /sin/ a

Далее,

5.13. Производная неявно заданной функции

Если дифференцируемая функция у = f(x) задана неявно уравнением F{x, у) = 0, то, дифференцируя тождество Fix, fix)) = 0 по х (как сложную функцию), можно определить fix). Дифференцируя выражение fix) по х, можно определить fix) и т.д.

Например, если функция у = Дх) задана неявно уравнением arctgy - у + х = 0, то, дифференцируя по х тождество arctg/(x) --fix)+x = 0, найдем

^Щ-fix)+ 1 = 0,  откуда  y' = f(x) = + y-1. + у

Дифференцируя по х последнее равенство, получаем

у" = fix) = -2у-ъу' = -2(1+/2).

У