Справочник по математике для экономистов

5.22. общая схема исследования функции

Находят область определения, точки разрыва, множество значений функции.

Находят асимптоты графика.

Исследуют функцию на четность, нечетность, периодичность.

Исследуют функцию на монотонность и находят ее экстремумы.

Определяют направление выпуклости графика, точки перегиба.

Находят точки пересечения с осями координат.

Строят график функции.

О Пример. Исследуем функцию

y = fix) = ix + 5)llx2~.

Diy) = ]-оо, +оо[. Функция fx) непрерывна на Diy). Точек разрыва нет.

Вертикальных асимптот нет; к = lim Х + -ч/х = оо, наклонных асимптот нет. х

 

156

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

5 х + 2

у' = —. Критические точки: х = -2, х = 0.

3 vx

 

X

Ь»,-2[

-2

]-2, 0[

0

]0,-н-[

Знаку'

+

/ = 0

-

у' = оо

+

Поведение функции

Возрастает

max 3^

Убывает

min 0

Возрастает

у" = — Х,—-; у" - 0 при х = 1, у" не существует при х = 0.

X

]—, 0[

0

Ю,1[

1

]1,-н-[

Знаку"

-

у   = —оо

-

у" = 0

+

Поведение функции

Выпукла вверх

Не является точкой перегиба

Выпукла вверх

Точка перегиба у = 6

Выпукла вниз

/(х) = 0 при х = 0 и х = -5.

График функции изображен на рис. 5.10. •