Справочник по математике для экономистов

6.6. частные производные высших порядков

Предположим, что функция ДМ) имеет частную производ-ную ^— в каждой точке некоторой окрестности точки М0. Если

при этом существует частная производная по х. от функции

dXj d2f

в самой точке Мп, то она называется частной производной        —

dxfiXj

по х. и Xj в точке MQ, т.е.

Э2/ _ Э (^Л

dXjdXj dxt

163

Частная производная, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Кроме того, по определению,

Э2/= Э2/ Эх2    dXjdXj'

О Пример. Найти частные производные второго порядка функции f(M) = хх - хх + 2XjX2 в произвольной точке M(xv х2). Так как

К.

дху

— Зх^ эс>2   2x^X2 "Н '

3L

Эх^

 

1А2

— 2х^ Х2   Зх- Xі) ~~ 2xi

то

Подпись: чЭх1У
Подпись: — 6х^ Х2   6x^X2 "і- 23
Подпись: ydx2j

кдхи

Э2/^ _Э_ Эх2 Эхх

Э2/ = Э дх2дху Эх2

э2/ э

8x^X2 3Xj

aV = _3_

Эх? Эх,

 

чЭх2У

— 2х^   6х^ Х2. ^

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.