Справочник по математике для экономистов

6.8. наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных

Пусть функция ДМ) определена и непрерывна на некотором ограниченном замкнутом множестве К и, за исключением, быть может, отдельных точек, имеет на этом множестве частные производные. В этом случае найдется точка М0 є V, в которой функция имеет наименьшее (наибольшее) значение на множестве V.

Если точка М0 лежит внутри множества V, то она является точкой экстремума функции и ее следует искать среди стационарных точек или точек, где не существует частных производных. Однако своего наименьшего (наибольшего) значения функция ДМ) может достигать и на границе множества V.

165

Таким образом, для отыскания наименьшего (наибольшего) значения функции ДМ) на множестве ^необходимо:

определить все точки множества V, где не существует частных производных функции ДМ);

найти все стационарные точки функции ДМ), принадлежащие множеству V;

во всех найденных точках вычислить значения функции ДМ) и сравнить их со значениями функции на границе множества V. Наименьшее (наибольшее) из этих значений и будет наименьшим (наибольшим) значением ДМ) на всем множестве V.

О Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции ДМ) = 8х2 +у2 - (х2+у2)2 внутри кругах2+у2 < 3.

Функция ДМ) имеет частные производные во всех точках. Так как grad/ = {16х - 4х(х2 + у2); 2у - 4у(х2 + у2)}, то для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений

16х - 4х(х2 + у2) = О, 2у - 4у(х2 + у2) = 0.

Из этой системы уравнений найдем следующие стационарные точки: ^(0; 0), М2(0; 1/-Л), М3(0; -l/V2), М4(2; 0), М5(-2; 0). Тогда ДМ,) - 0, ДМ2) =f(M3) - 1/4, М4, М5 g V.

Выясним, какие значения принимает функция ДМ) в точках окружности х2 + у2 = 3. Так как у2 = 3 - х2, -7з < х < V3, то на окружности / - 8х2 + 3 - х2 - 9 = 1х2 - 6, —v/з < х < /з. Отсюда следует, что на окружности наименьшее значение равно -6 и достигается в точках М6(0; 73), М7(0; -л/3), а наибольшее значение равно 15 и достигается в точках MS(J3; 0), М9(-ІЗ; 0).

Искомые наименьшее и наибольшее значения равны -6 и 15 и достигаются соответственно в точках

М6(0;л/3), М7(0;-л/3)

и

М8(>/3; 0),    М9(-у[3; 0). •

 

166

6.9. Системы функциональных уравнений и неравенств

Рассмотрим систему функциональных уравнений и неравенств

Ф1(х1,х2, ...,хп) = 0,

 

Фк(х1,х2,...,хп) = 0,

Фш(Х1>Х2>->Хг)^°>

 

Ф^х1,х2, ...,хп)<0

(в частности, эта система может содержать только уравнения или только неравенства).

Обозначим через ^множество всех решений этой системы:

V= {Me R"Ф((М) = 0, / = 1, 2,к; Ф^М) <0, i = k+ 1,/}.

Предположим, что функции Ф^М), і = 1, 2, к, к + 1, /, непрерывны на всем пространстве R". Тогда:

множество Кзамкнуто;

если множество Кограничено, а функция f(M) непрерывна на множестве V, то она на этом множестве имеет наименьшее и наибольшее значения.

Рассмотрим множество Q = {Me R" | Ф((М) < 0, і = 1, 2,/}, где функции Фг(М), і = 1, 2, /, непрерывны на всем пространстве R".

Если Ф((М0) < О, і = 1, 2,...,/, то М0 является внутренней точкой множества Q. Если же М0 — граничная точка множества Q, то Ф;(М0) = О для некоторого /.

О Пример. Рассмотрим множество

Q = {M(xv х2,хг) е R31 Ф^М) =х + х + х] - 4 < О,

Ф2(М)=х2 + х2-2х3<0}.

Точка Af,(0; 1; 1) является внутренней точкой множества Q, так как ФДМ^ = -2 < О, Ф2(^) = -1 < 0. Точки М2(0; 0; 2) и М3(1; 1; 1) принадлежат границе множества Q, так как ФХ(М2) = 0, Ф2(М2) = = -4 < 0, Ф^Мг) = -1 < 0, Ф2(М3) = 0. •

167