Справочник по математике для экономистов

6.10. особые точки множества

Точку М0 из множества

V= {Me R" I Ф/М) = 0, z = l, 2,к;   Ф((М) <0, i = k+ 1,/}

назьшают особой точкой этого множества, если в точке MQ линейно зависимы градиенты тех функций Ф.(М), которые в ней обращаются в 0.

О Пример. Точка М0(2; 0; 0) — особая точка множества

V= {Мірсу,х2,х3) є R31ФуіМ) = х + х + х-4 = 0,

Ф2(М)=х21+х22-2х1<0}.

Действительно, Ф^А/q) = 0, Ф2(М0) = 0, grari^l^ = (4; 0; 0),

grad Ф21м^ = (2; 0; 0). Так как grad Фх |   = 2grad Ф21   , то эти векторы

образуют линейно зависимую систему. •

Точка М0 є R" является особой точкой множества Р = {М є є R" І Ф,(М) = 0, і = 1, 2,к) тогда и только тогда, когда

Ф,(М0) = 0, і = 1,2,...,к, XH/gradO,^ =Є

(цр u2,ik — ненулевой набор чисел).

О Пример. Найти особые точки множества

Р= {M(xv х2, х3) є R31 Ф^М) = х2 + 6х + Ах - 16 = 0,

Х-^ Н" Х<2 И- Х^    4 — 05

• Ц^) + M.2(2x!) = 0, Uj^jcj) + |Л.2(2х2) = 0, ц.1(8х3) + |J.2(2x3) = 0.

168

Ф2(М) =х + х + х - 4 = 0}.

Решив эту систему, найдем две особые точки М,(0; 0; -2), М2(0; 0; 2) множества Р. •

Точка М0 е R" является особой точкой множества Q = {М е е R" | Фг(АГ) < 0, і = 1, 2,к} тогда и только тогда, когда

ФДЖ0)<0, / = 1,2,...,*,

 

'5>/*га<1ф/1*0 =9, i=i

іііФі(М0) = 0, і = 1,2,...,к (iv i2,ik — ненулевой набор чисел).