Справочник по математике для экономистов

Раздел vi дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 6.1. частные производные функций нескольких переменных

Пусть функция / (М) определена в некоторой окрестности точки М0 (х°;    х?;     х°). Рассмотрим точку М; (х?,     х° + Ах,,

хЦ). Если существует lim    , то он называется част-

4л-О Ах(

ной производной (обозначение: — (М0)) функции / (М) в точке

dxt

Mo, т. е.

 

dxt       де(-.о Ах,

= ЦШ /(х?' ■■■■      .-, *;>-/(*?, ■■■■ х?, ■-, *?)

Алг(-М) Ах,

 

Из определения частной производной следует, что для ее нахождения достаточно вычислить обычную производную по х„

считая хь    x,_i, xj+  ,хя постоянными. Например, если/ (М)-

=х?х2х3—Хіх]хі+2х2хі, то

Of _ /   5у        з          с   4 з

— х ij Х2Х3 —' x [x 2X3 — ЭХ 1X2X3 — X 2Хз,

дхі

 

— = ххгхъ—х, (хг)' x3+2x2xf=xfx3 —Зхіх|хз+2х2, 5х2

 

            = X fx2X3 — Х1Х2Х3 + 2х2 (х з)' = х [Х2 — Х]Х2 + 4х2Хз.

5х3

 

Для того чтобы вычислить частную производную в некоторой фиксированной точке, достаточно найти эту частную производную в любой точке и в найденное выражение подставить вместо неизвестных координаты данной точки.

Найдем,   например,   частную  производную  — (М0), где

ду

/(А0 = е*3+Л М0(1; -1). Так как —=2уе     , то

^(А/„)=2(-1)е1^1,,= -2е2.

ду