Справочник по математике для экономистов

6.2. полное приращение функции нескольких переменных

Пусть функция / (Л/) определена в некоторой окрестности точки М0(х°; ...; х?; х°). Рассмотрим точку Л/Д(х, + Дхі; ... ...; х° + Дх,; х°+Дх„). Полным приращением Af функции f(M) в точке А/0 называется число/(А/д)—/(Л/0), т. е.

Д/=/(А/д)-/(Л/0)=

=/(х° + Л*ь .... хЧ + Ахи-.... х°я + Ахп)-/(х°и     х? х£).

О Найдем,    например,    полное    приращение функции f{M) = x] + x в точке Л/0 (1, -2). Так как Л/4 (1 +Дхі; —2 +Дх2), то

ДГ=/ (А/д) -/ (А/о) = (1 + А х ,)2 + (- 2+Дх2)2 -12 - ( - 2)2 = = 2Дх1-4Дх2+(Дх1)г + (Д*2)2. •

Полное приращение функции нескольких переменных существует в любой точке, в окрестности которой эта функция определена.

О Найдем, например, полное приращение функции / (А/) = = х3 + ХіХ2 + Х|Х3 в произвольной точке Л/ (х,; х2; x3)eR3. Так как А/д (хі+Дх^ х2+Дх2; хэ + Дхэ), то

Af=f(MA)-f(MD)=(xl + Дх,)3 + (х, + Дх,) (х2+Дх2)+

+ (Х! + ДХі) (Хз+ДХз)-Хі-ХіХ2-Х1Хз = (Зх2 + Х2-|-Хз) Дх,+

+Х|Ах2 + ХіАхі+Зхі (Axi)2 + (A*i)3 + Ах^ • Дх2 + Дх, ■ Дх3. ф 6.3. Дифференцируемость функций нескольких переменных

Пусть функция / (Л/) определена в некоторой окрестности точки Л/о, M0eR . Функция / (Л/) называется дифференцируемой в точке М0, если полное приращение А/ в этой точке имеет следующий вид:

Д/= A j Дх, + А 2 Дх2+... + AjSx, + + а, Ах, + а2Ах2 + ... + с^АхЙ,

где А, А2,    Ая — некоторые числа, не зависящие от Axi, Ах2,

Ах„, а аи а2    ая-*0 при Ах^О, Дх2-»0, Ах„-»0.

0          Примеры.

Функция f (М) = х+х дифференцируема в точке Л/0(1; —2). В самом деле,

А/=2Дх,-4Дх2 + (Ах,)2 + (Ах2)2,

т. е.

Af— А і Axj + А2Ах2 + Я| Ах, + ос2Дх2,

где Ai — 2, А2=—4, а, = Дхь а2=Дх2.

Функция/(Л/)=х3 + х1х2 + х1хэ дифференцируема в любой точке М (хь х2; x3)eR3.

Действительн о,

Af=(3x}+x2 + x1) Дх,+ х,Дх2+Х|Ах3 +Ах[ (Зх|Дх| + + Дх2+Ах3 + (Дх|)2), т. е. Af= AiAxt + А2Ах2 + АъАхъ + 4-с^Дхі, где A, = 3х? + х2 + х3, А2-хи Аъ~хи a1 = = Зх|Ахі +Ах2+Дхз + (Ах])2 и oti-»0 при Дх|-»0, Дх2-»0, Дхз->0. •

Линейная функция/(Л/) = а1Хі + а2х2 + ... + очхя и квадратичная функция / (Л/)=a, [X + а22х +... + а^х2 + 2а, 2х, х2+2а, 3ХіХ3 +... ... + 2а1пХіХя+2а2іх2хі + ... + 2а2пх2хп+... + 2a„-lnx„_i х„ дифференцируемы в любой точке М (хь х2; хя)еЛ".

Свойства дифференцируемых функций

1          °. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

2°. Если функция / (Л/) дифференцируема в точке М0, то она имеет в этой точке все частные производные, причем

А/=Г- W ^1+? M> Ax2 + ...+^ (M0) Ax,+

OX[      OX2 ox„

4- о^Длі + a2Ax2 +... + а„Ахя,

где в], a2, .... a„-*0 при Дль Дх2, Ахя~*0.

3°. Если функция f (Л/) имеет все частные производные в некоторой окрестности точки Л/0, которые непрерывны в самой точке Л/0, то функция/ (Л/) дифференцируема в этой точке.