Справочник по математике для экономистов

7.4. методы интегрирования

Метод разложения. Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной.

О Примеры.

Xі     xin Xі xdx = ~ + 2-—h- + C=

3       5/2 2

x dx+

1. J (x + y/x)2dx=:$ (хг + 2хy/x + x)dx = x2dx+2

■+-X'

y/x + - + C,

 

2.

dx

sin X 4- COS X

dx-

 

dx      I dx

+ I —— =tgX — CtgX+C.

 

Метод замены переменной. Вводят новую переменную с помощью соотношения x = tp(t) и данный интеграл преобразуют следующим образом:

[f{x)dx=j\<t>(t)]q>'(t)dt,

где (р {/) •— дифференцируемая функция. О Примеры.

1. Вычислить JsinSxcbc. Делаем замену переменной: x = t}5, dx = df/5. Далее имеем

sin5xdx=

1          1          Г „

sinrdf= —-cos? + C = —cosSjc + C

5 5

2. Вычислить х у/х—2 dx.

Обозначим yjx~2 = i. Тогда x-2 = t2, x=t2 + 2, dx=2tdt. Да-

лее имеем

J Xy/x^2dx=} (t2 + 2)t2tdt=2[$ /*d/+2j t2di] =

 

5      3  5 3

Метод интегрирования по частям. Интегрирование осуществляют с помощью формулы

J и dv = uv — { v du,

где и, v — дифференцируемые функции.

Для применения этой формулы подынтегральное выражение разбивают на две части, одну из которых принимают за и, а другую — за dv так, чтобы интеграл J vdu вычислялся проще, чем исходный.

О Пример. Вычислить J xinxdx.

Обозначим и — 1йх, dv=xdx. Тогда du=-dx, v= xdx= .

х 2

Inx—Xі + C. 2 4

Далее имеем

 

г<іх Xі

хй xdx=—In jc— ' I J

J           2 2}

Интегрирование правильных рациональных дробей.

Интегрирование правильных рациональных дробей начинаем

ют с разложения их на простейшие рациональные дроби

А        Ах+в ,

            ,           , где п — , 2,  3,  ...—натуральные числа;

(х-а)" tf+px+q)"

х +px + q не разлагается на действительные множители, т. е. имеет только комплексно-сопряженные корни.

Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью следующих формул:

 

            dx=Aln[x-a+C,

 

А     ,    А „

            dx =     + С,

(х-а) (1-и)(х-в)

 

Ах+В   А.   ,  .  ,    гВ-Ар       ^ 2х+р

            — dx = ~In I х2+рх+q + —=== arc tg —== + C.

x^px+q           2          рг yftq-p1

 

Дроби вида —Лх+В    интегрируют с помощью формулы

{x1+px + q)

понижения степени

 

J tf+px + qf     2(п-1)(ч-^Ух*+рХ + д)"

 

Ар

В          (2л-3)

2 /

2(n-i)^-^-' {x1+px+q) '

Разложение рациональных дробей на простейшие основано на

том, что любой многочлен (р(х) = а0х"+ а1х"~1 + ... + а„ может быть записан в виде произведения

(р (х) = а0(х-х1)(х-х2)... (х - л:.), (7.1)

 

где xlt х2, .... хя — корни уравнения (р(х)=0.

Эти корни могут быть действительными и комплексными. Значения корней в разложении (7.1) могут повторяться (кратные корни). Вместе с комплексным корнем xJ=a] + i^i в выражении (7.1) имеется комплексно-сопряженный корень Xj—OLj—ifij. Произведение линейных множителей (х — Xj)(х — Xj), содержащих комплексно-сопряженные корни, может быть записано в виде x2+px+q. Многочлен (7.1) в этом случае принимает следующий вид:

Ф (х) = а0(х—xi )т> (х—х2Т' •■■{х — xk)mk х х tf+p^ + qj**1 ... (x2+p^ + q,)mk^, (7.2)

где xt, х2, .... хк — действительные числа; щ — кратности про-

стых и комплексно-сопряженных корней 0=1. 2         к + 1).

Правильную рациональную дробь со знаменателем, имеющим вид (7.2), записывают как сумму простейших рациональных дробей:

Ах) ™

a0(x~xj)   ...(х*+р,х + Ч1)

6-4Ї1

161

Приводя правую часть выражения (7.3) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х полученного выражения и исходной дроби, находят значения А±, А2,    В„к+(, CMjt+/.

„           Г 2х2~х+

О Пример. Вычислить J      г          — ах.

J (х-1)(х1-2х + 3)

Имеем:

2^-*+1     _ А       Вх+С     A(x*-2x + 3) + (x~l){Bx+Q

(х-1)(х*-2х+3)   х-1   х»-2х+3 (х-Щ^-гх+З)

_(A+B)x2+(-2A-B+Qx+3A~C

~         (х-1)(,х*-2х + 3)

Л + Я=2,

~2А~В+С=~1,=>А=В=1, С=2; ЪА-С=,

 

Г     2х*-х+1      .      Г dx     Г   х+2 ;

            dx=      +          =lnх-1 +

} (х~1)(х1-2х+Э)       J*-l   J х*-2х+Ъ

Ґ(1/2)(2х-2)+3 л     , , J    х*-2х+3 2

+ з|^^ = 1п|х-1| + 5іп1л:г-2л + 3| +

+ 3 Г—^-=lnlJC-l|-r--m|x2-2x+3| + -^arctg^ + C.

х*-2* + 3 2

1.   .   ■>    ~      ~ ,     3         х—1

-In х2-2х+3 +-^arctg—= 2 s/г

Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида J cos*хsin хах, где ш, л — натуральные числа, вычисляют в зависимости от четности степеней тип следующим образом.

Если т или п — нечетные, то используют замену переменного

і ~ sin х ври т нечетном, f=cosx при л нечетном.

О Пример. cosxsin2xdx = f/ = sinx, dr=cosxdx]=J t2dt = Iі    _ sin3x

=-+c=—+c. •

з 3

Если тип — четные, то используют формулы понижения степеней

. 7      1—cos2x       ,      1+cos2jc   , siti2x

snrx = , COS X =         , sinxcosx =    .

2          2 2

О Пример. J cos2xsin2xdx=J' (cosxsinx)2dx=

1 — cos4jc

dx =

 

U   1 ■ a

~ - [ x— sin4x

8 4 ;

2

 

+ C.

Интегралы вида Ji{(sinx, cosx)dx, где i?(sinx, cosx)— рациональная функция от sinx, cosx, приводят к интегралам от рациональных функций переменной / с помощью следующей

х _

подстановки: f=tg-. Тогда

2

2d/    . It 1-

dx =     , sinx= , cosx=— „

l + f      l + t2 l+i1

О Пример.   — =       '=  - = ln / +C=

J smi   J (l+r1)*    J t

x

= ln tg-

 

Интегрирование иррациональных функций. Некоторые интегралы от иррациональных функций могут быть приведены к интегралам от рациональных функций с помощью следующих подстановок:

Интеграл Подстановка

jR{x, l/ax+b) dx,        ax+b — t",

R(xm, ;/axm+b)xm-[dx,      axm+b = t

I R(x, yfa2—x2)dx, x=asinx, J R(x, y/a2+x2)dx, x=ai\%t.

О Пример.

J x-sj —x2dx=| x=sin t, dx=cos/d/| = = J sin/cos2fdr=|cosf=u, — sin;d/=du|=

r   1 .   "э    л       cos3/ л

= -f u2du=      + C=    + C=

J           .3         3 -

 

7.5. Определенный интеграл. Основные понятия

Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [а, Ь]

я

называется выражение £/(х() Лх„ где я — число «элементарных»

i-i

отрезков, на которые разбивается отрезок [а, Ь] х,- — произвольная точка внутри отрезка [х,_], хл, длина которого равна Дх, (рис. 7.1).

Определенным интегралом функции у=/(х) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего «элементарного» отрезка:

J/(x)dx=lim t/(xf)Ax„

a i-I

max| Дх,]-»0.

Число а называют нижним пределом инатегрирования, b — верхним пределом.

Рис. 7.2

Определенный интеграл имеет геометрический смысл. Интегь

рал j f(x) dx численно равен площади криволинейной трапеции,

ограниченной графиком функции y=f(x) > 0, осью Ох и прямыми х=а, х=Ь (рис. 7.2).