Справочник по математике для экономистов

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Коши. Но эти методы в настоящее время являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка

У'=ДхгуХу(х0)=у0

на отрезке [х0, хя].

На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, х1г .... xN, для которых вычисляют значения функций у по схеме

Уп+і=У,+№(хп, уЛ), h„ = x„+i-x„,

где n=0, 1      JV-1.

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых А„.

Модификации этрго метода определяются следующими формулами:

t

K           f(Xn. Уп) -

Хп + -,Уп +     К ,

 

hn

Л+і^У.+т {/(*.. У.)+/[х.-н, У*+А*п, yJtQ}.

о

Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кут-та. Наиболее употребительной является следующая схема указанного метода:

К

Л+1=Л+-г(*1 + 2*2+2*э+*Д (7.23)

6

 

где

 

ki=f(x„, y„), k2=flx„+-, у,+-кЛ

 

При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы решения дифференциальных уравнений.

О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' =хг+уг, у(0) = 1 на отрезке [О, 0,7].

Выберем шаг А = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем следущие значения функции у на сетке значений х:

 

X

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

У

1

1,11

1,25

1,44

1,7

2,07

2,64

3,65