Справочник по математике для экономистов

8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов

Признаки сравнения. Если все члены рядов

а1+а1 + „.+ая + ..., (1) Ь1+Ь2 + ...+Ьл + ... (2)

не отрицательны и о,^ія, п = 1, 2, 3..., то из сходимости ряда (2)

следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Если все члены рядов (1) и (2) положительны и существует

lim —=k, 0<jfc< + со, то эти ряды сходятся или расходятся одно-

n-»CD ЬЯ

временно.

О Пример. Ряд -+-++...+— + ... расходится, так как гар-2462л

,111 моническии ряд 1+-+- + ...Н—h ... расходится и

2   3 л

lim1/^ = limn/(2n)=l/2. •

я-* со   1/л л-*оо

Признак Коши. Если все члены ряда а1 + о2 + ... + а,+...

не отрицательны и существует lim ffa» = q, то при q < 1 этот ряд

Л-ЮО

сходится, а при q> 1 расходится. (При q = 1 признак Коши не дает возможности судить о поведении ряда.)

_ „        „   2 г1 г

О Пример. Ряд - Н    н...н     Ь... сходится, так как

її2 ii-ii

 

lim yfa„= lim »/ - = lim - = 0< 1. #

Л-+30 Л-.00 /     и я-»ооЛ

Признак Даламбера. Если все члены ряда а1 + а2 + ...+ая+...

 

положительны и существует lim — d, то при rf< 1 этот ряд

Л-.00 йя

сходится, а при d> 1 ряд расходится. (При d—l признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда.)

„         „    3   За     - з"

О Пример. Рад - н     (-... -   h... сходится, так как

1!   2! л!

з"            з"+1           а 3

в„=—, ав+1=  и lim     = lim  = 0<1. •

л!         (л + 1)!    »-*» «я     Я-.00Л + 1

. Интегральный признак сходимости Коши. Если а„=/(л), «=1. 2, где Дл)— значение при х=л некоторой функции f(x), непрерывной, положительной и невозрастающей при х>1, то ряд а1 + а2 + ... + а„ + ... сходится или расходится

ь

в зависимости от того, существует или нет конечный lim J/(x)dx.

„«12 л

О Пример. Ряд          1          I-...H     h... расходится, так как

1 + 1J   1+22 1+л2

х

функция fix)—         является положительной, непрерывной и не-

1 +JC2

возрастающей при х > 1 и

lim J/(x)dx= lim J^=-lim [ln(l+62)-ln2]= + оо. • *

8.4. Абсолютная и условная сходимость рядов

Числовой ряд

и1 + иг + ... + ия + ... (8.1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

КІ + КІ + ... + КІ + .... (8.2)

Абсолютно сходящийся ряд всегда сходится. Если сам ряд (8.1) сходится, а ряд (8.2) расходится, то говорят, что ряд (8.1) сходится условно.

Теорема Лейбница. Ряд

Cj -с2 + с3-сл + .., + (-1)"~1 с„ + ...,

где все с„>0, сходится, если последовательность {с} невозраста-ющая и lim с„ = 0.

Л-.00

В этом случае для остатка ряда справедлива оценка |гл|^с,+,,п = 1,2, 3, ....

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

1 °. Если ряд сходится абсолютно, то новый ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

2°. Если ряд сходится условно, то, какое бы число В ни взять, можно так переставить члены в этом ряде, чтобы сумма преобразованного ряда была равна именно В.

3°. Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены в этом ряде, что новый ряд будет расходиться.