Справочник по математике для экономистов

11.11. задача о кратчайшем пути между двумя вершинами графа

Пусть каждой дуге (х, у) графа G пбставлево в соответствие число 1(х. у)>0, которое называется длиной этой дуги (если вершины х и у не соединены дугой, то полагают 1(х, у)=со). Длина пути определяется как сумма длин отдельных дуг, составляющих этот путь. Требуется найти кратчайший путь между двумя заданными вершинами sat графа G.

Алгоритм поиска кратчайшего пути

В ходе выполнения алгоритма окрашивают вершины и дуги графа и вычисляют величины d(x), равные кратчайшему рути из вершины s в вершину х, включающему только окрашенные вершины,

Полагают d(s) = 0, d(x)=oc для любого x^s. Окрашивают вершину s и полагают y=s.

Для каждой неокрашенной вершины х пересчитывают величину d{x) по формуле d(x)—min{d(x), d(y)+l(y, х)}.

Если d(х) — ОС' для всех вершин, то вычисления заканчивают. В графе G отсутствуют дуги из вершины s в неокрашенные вершины.

В противном случае окрасить вершину х, для которой величина d(x) минимальна, и дугу, ведущую в вершину х. Полагают у=х.

Если y=t, то кратчайший путь найден. В противном случае переходят к шагу 2.

С помощью описанного алгоритма можно определить кратчайший путь из s во все вершины исходного графа. Для этого процедуру окрашивания нужно продолжить до тех пор, пока все вершины графа не будут окрашены. При этом для графа G будет построено покрывающее дерево с корнем в вершине s (если такое дерево существует). В вершину s не ведет ни одна дуга и существует ориентированный путь из s в любую другую вершину графа.

О Пример. Найти кратчайший путь между вершинами s и / для графа, изображенного на рис. 11.19.

Окрасим вершину s, положим d(s) — 0, d(x) = ос для любого хф5 и y = s. Легко найти, что d(d) = 6, d(b) = 9, d(c)=5, d(d)^d(t)=ao.

Окрашиваем вершину с и дугу (s, с), так как величина d(c) минимальна. Полагаем у— с и, поскольку вершина / не окрашена, снова пересчитываем величину о*Ос). Имеем: d(a) = 6, d(b)~9, d(d) = lO, d(0=co.

Окрашиваем вершину а и дугу (s, а). Полагаем у = а и пересчитываем величины d(x). Получаем d(b) = 9, d(d)=, d(t)= ос.

Окрашиваем вершину Ь и дугу (а, Ь). Полагаем у = Ь, находим величины d{x): d(d) = lOt d(t)=l3.

Окрашиваем вершину d и дугу (я, d) [либо дугу (с, d)]. Полагаем y=dи находим величину d(t)~li.

Окрашиваем вершину /. Кратчайшим является путь (s, b, і). Покрывающее дерево кратчайших путей изображено на рис. 11.20. Щ

Обобщим алгоритм на тот случай, когда некоторые дуги имеют отрицательные длины.

При выполнении шага 2 алгоритма пересчет величин d(x) производят для всех вершин.

Если для некоторой окрашенной вершины величина d(x) уменьшается, то с нее и с инцидентной ей дуги окраску снимают.

3.         Процесс вычислений заканчивают, когда все вершины

графа G окрашены и ни одно из чисел d(x) не меняется при

пересчете.

О Пример. На рис. 11.21 изображен граф, имеющий дугу отрицательной длины. Найти кратчайший путь между вершинами s и t.

Окрашиваем вершину s. Полагаем d(s) = 0, d(a) = d(t) = oo, y=s, пересчитываем величины d{x): d(d)~min {оо, 0 + 5} = 5; rf(/)=min {оо, 0 + 4} =4.

Окрашиваем вершину t, дугу (s, t) и полагаем y = t. Пересчитываем числа d(x). Поскольку из вершины t не исходит ни одна дуга, эти числа не меняются.

Окрашиваем вершину а и дугу (s, а). Полагаем у = а и пересчитываем d(x): d(/)=min{4, 5 + (—2)} = 3. Величина d(i) уменьшилась, поэтому с вершины t и дуги (s, /) окраску снимаем.

В исходном графе неокрашенной является только вершина t. Она окрашивается вместе с дугой (a, t), поскольку у = а.

Полагая y = t, пересчитываем величины d(x), но они не меняются. Кратчайшим является путь (s. а, і), ф

Описанный алгоритм можно применять к задаче поиска кратчайших путей между каждой парой вершин графа. Однако эта процедура требует больших вычислений и обычно для решения применяют специальный алгоритм.