Справочник по математике для экономистов

13.3. теоремы сложения и умножения вероятностей

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событии оценивать вероятности других событий. Для этого используют различные соотношения, в основе которых лежат теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий Аг, Аг, .... Ая равна сумме вероятностей этих событий:

Р&А^ІРШ. i-i j-i

Если в единичном опыте обязательно должно произойти одно из событий Ах, Аг, .... Ап, то такая группа событий называется полной группой событий. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

£п4)=1.

1-І

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается P(AjB).

Теорема умножения вероятностен. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Р(АВ) = Р(А)Р (В/А)=Р(В)Р (A jB).

Если же появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события:

Р(АВ) = Р (А) Р (В).

Если же рассматривается более двух событий, то формула вероятности произведения событий Ау, А2,     А„ имеет вид

P(AtA2...      А^РЦ^РЩА^РЩА^-..РЩАуА2... Л-і),

где P(A2jAl) — вероятность события А2 при условии, что имело место событие А у...;

P(A„jAlA2...A„-i) — вероятность события А„ при условии, что имели место события Ау, А2, .... А„_,.