Справочник по математике для экономистов

2.5. векторы. действия с n-мерными векторами

Последовательность п чисел аи аъ а„ называют л-мерным вектором х:

х=(аи а2, а„).

Число й! называют первой координатой вектора х, а2 — второй координатой и т. д. Количество координат у вектора х называют его размерностью.

Если у «-мерных векторов х=(аь а2, ая) и у={Ьи Ь2, Ьл), имеющих одну и ту же размерность, одноименные координаты равны, т. е. если ai=bi, a2 = b2, а„=Ья, то такие векторы называют равными и пишут х=у. Если же хотя бы одна пара одноименных координат у векторов х и у различна, то хФу.

Вектор, у которого все координаты равны нулю, называют нулевым:

в=ф, 0, 0).

Суммой n-мерных векторов jc=(fl|, а2, ап), y=(bu b2t b„) называется л-мерцый вектор

x+y=(ai + b[t a2 + bb .... a„+b„).

Для каждого л-мерного вектора jc

х+в = х.

Умножение вектора х — (аи а2, ап) на число определено следующим образом:

xk—kx — (aik, а2к, ajc).

Вектор (—1)* называют вектором, противоположным х, и обозначают —х. Вместо х+( — ) у пишут х—у. Вектор х—у называют разностью векторов х и у.

Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число (х, у, z — л-мерные векторы, ки къ к — числа):

1°. х+у=у+х. 2°. (x+y)+z = x + (y + z). 3°. (х+у) к^хк+ук. 4°. х (к1+к2) = хк1+хк2.

5°. х (кік2)=(хкі) кг.

Скалярным произведением л-мерных векторов х=(о{, а2, ...„ а„) и у=(ри Ь2, Ья) называют число, обозначаемое ху и равное сумме парных произведений соответственных координат векторов х и у:

ху = a,bi + a2b2 +... + ajb„.

Свойства скалярного произведения (х, у, z — п-мерные векторы, к — число):

1°.        ху = ух.

2°.        х (y+z)=xy+xz.

3°.        к(ху) = (кх)у=х(ку).

4°.        хх^О, причем хх — О тогда и только тогда, когда х=в.