Справочник по математике для экономистов

2.7. линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений

 

Вектор Ахк +А2кг+ ...+AJcm называется линейной комбинацией векторов Ai, А2,     А„ с коэффициентами кь к2, кт.

О Пример. Дана система векторов Л, =(1, 2, 5, — 9), Л2 = ( — 1, 3,1, —5), Л3 = (0, 7, —2, 4), Л< = (1, —2, -2, 3). Найти координаты линейной комбинации 2Л| — ЪАг + А$ — 0At.

Выполняя указанные операции над векторами, получим

апх1 + аі2хг+ ... + а1яхя=*Ьи а21*і + 0.27X1+... +а2ях„=Ь2,

 

атХ + а„2х2 +... + атях„ = Ьт

 

(2-9)

в векторной форме.

Обозначим через А, А2, Ая столбцы коэффициентов при неизвестных х,, хг, х„, а через В — столбец свободных членов системы уравнений, т. е.

'«и I

an

(-а2

017

Си

/М ь21

, А2

V

1*1 /

ат2

V

I

mj

Теперь систему линейных уравнений (2.9) можно записать в виде

an

z (::

x2 + ...+

 

 

x„ =

 

a„

4

 

или

А і jc, + А2х2+...4-АпХ„=В.

Последовательность чисел ки к2, К является решением системы (2.9) тогда и только тогда, когда справедливо соотношение

A,kt + А2кг +'... + Ajzn = В.

 

2.8. Разложение вектора по системе векторов

По определению, п-мерный вектор В разлагается по системе n-мерных векторов Аи А2, Ая, если можно подобрать такие числа ки к2, к„, что векторы В и Ахкх + А2к2 +... + А„к„ равны, т. е. В=А1кі+А2к2 + ... + Апкй.

Числа кь к2,     кп называются коэффициентами разложения.

Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов Аи А2, .., А„, достаточно найти какое-нибудь решение системы линейных уравнений

А і Хі + А2хг+... + А„х„ = В. О Пример. Даны система векторов Ait А2, Л3 и вектор В:

Ах =

 

4

3

VI

 

Аг=

1-А о

і

3/

Выяснить, разлагается ли вектор В по системе векторов Аи Аъ А}.

Найти общее решение системы линейных уравнений А {х, + А2х2+Аъхъ = В.

 

Имеем

 

 

х2

 

 

х2

 

 

2

-3

2     ** 2

-3

1

2

 

4

0

-1

7 6

-3

0

9

 

3

1

10

17 -17

31

0

-3

 

0

3

-3

0 6

6

0

6

 

*1

*2

 

*i

*1

*3

 

-4

0

1

_7 —*-

0

0

1

1

-2

1

0

-3

0

1

0

1

45

0

0

90

1

0

0

2

-6

0

0

-12

0

0

0

0

 

Исходная система уравнений равносильна системе хэ = 1, х2=, jc, = 2, которая имеет единственное решение 2, 1, 1. Следовательно, B=2Ai + A2 + A-j, т. е. вектор В разлагается по системе векторов Аи А2, Аъ. #.

Разложения вектора В по системе А{, Аг           Ая:

Я=Мі + М2 + ...+кяА„, B=IlA, + l1A2 + ...+lKAa

называются различными, если к, ФI, хотя бы при одном значении /,