Справочник по математике для экономистов

2.27. свойства определителей. вычисление определителей

1°. Определитель матрицы не изменяется при транспонировании.

2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя этой матрицы, т. е.

An ап кац каа ■

 

 

ка*

jan ап

= к

I

«лі ап2

V

3°. Если все элементы і-й строки матрицы п-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых au—bj+Cj,j=l, 2, п, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, у которых все строки, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а /-я строка у одной из матриц состоит из элементов bj, а у другой — из элементов с,, т. е.

«12

аія

/«и «і

А

 

b + Ci bi + c2

b„+c„

bi bi ... b„

 

Подпись: V«я2

«я І «я2

fan «и

«Ія

 

С сг ... с„

 

а„2 ■■■ amJ

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5°. Определитель матрицы не изменится, если к 1-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ее >ю строку (столбец), умноженную на число.

Если в матрице порядка л имеется строка (столбец), все элементы которой равны нулю, кроме одного, то вычисление определителя матрицы н-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы порядка (л — 1).

Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

О Пример. Вычислить определитель матрицы

Подпись:
Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей —вторую, умноженную на —3, а к четвертой строке — вторую, умноженную на —2, имеем

-2  5-1 3

-9 13 7 3-1   5 -5

18 -7 -10

 

- 13 25            17

-9 13   7

0 26 - 34         - 26

0 36 -33          -24

 

 

:(-1)2+'а21Л/21=-

-13 25 17 26 -34 -26 36 -33 -24

Получен определитель матрицы третьего порядка, хоторый можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычислению определителя матрицы второго порядка. Имеем

 

 

-13

25

17

 

 

- 13

25

17

 

 

26

-34

-26

=

2

13

-17

-13

 

 

36

-33

-24

 

 

36

-33

-24

 

 

 

13

25

17

 

 

0

8

4

= 2

 

 

13 -

17 -

13

 

-.2

13 -

17 -

13

 

 

10

1

2

 

 

10

1

2

 

0

2

1

 

0

0

1

 

= 24

ІЗ

-17

-ІЗ

= 8

13

9

-13

 

 

10

1

2

 

10 -

3

2

 

 

 

= 8(

-39-

-90)=-

-1032.

 

 

 

Итак, |4=-1032. •

6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.

7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е.

AB-A-B.

 

2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:

Ах=Ь, (2.22)

где А — квадратная матрица.

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера

Xi = dt/d, x2=djd,     x„ = djd,

где определитель dj получен из определителя о"=|Л| заменой _/-го столбца на столбец Ъ свободных членов системы уравнений. О Пример. Решить систему уравнений Ах=Ъ, где

Определитель матрицы системы

1 -1|

d=A =

 

= 3^0

и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем

Если )АфО, то матрица А обратима. Умножая обе часта уравнения (2.22) слева на матрицу А~1, получаем

х = А~1Ь. (2.23)

Формула (2.23) представляет собой матрично-векторную форму записи формул Крамера.