Справочник по математике для экономистов

3.13. выпуклые множества в л-мерном пространстве

Если М (х{; х2; хя) и N (у,; у2; у„) — две л-мерные точки, то отрезком [MN] называют множество всех точек Р (zb .... г,), где

zi = axi+(l -a) уи zj = ajf2+(l -а) уг,     z„ = ax„+(-x) уя при

 

Таким образом,

[MN]^{PeRnOP=OMa+ON (1-а) при O^a^l}.

О Пример. Даны точки М (, -2; 3, 4) и /У(3; 4; 1; -8). Точка Р(2; 1; 2; ~2)e[MN], так как 2=a-1 +(1-а).3, 1 = а(-2) + (1-а)4, 2 = а-3 + (1-а)■ 1, -2=«.4+(1-а).(-8) при а=1/2. Точка Q (4; 3; 2; — )$[MN, так как соотношения 4=a.l + (l-a)-3, 3 = a-(-2) + (l-a)4, 2 = «.3 + (l-e).l, — l = a-4 + (l—a)-(—8) не выполняются ни при каком значении а. •

Множество V в R" называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки, т. е. если MeV, NeV, то [МЩя. V.

Выпуклыми, например, являются следующие множества:

все л-мерное пространство R";

{M(x,y)sR2x2 + y2^r2};

{М (х„ х2,     xn)eRna,x] + a2x2 + ... + a„x„=b};

{М (хъ х2,     xn)eRnaiXt+a2x2 + ... + a„x„^b};

г-окрестность любой л-мерной точки.

Свойства выпуклых множеств

1°. Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

2°. Если точки Ми М2,Мк принадлежат выпуклому множеству  V и ^P=XiOMt+X2OM2 + ... + ХкО~Мк при Я,3*0, Я23*0,

Хк^0, Xi + Х2 + ...+Хк—1, то точка Р принадлежит множеству V.

Выпуклой оболочкой точек Mi, М2, Мк называется множество {PeR"OP=XtOMi + Х2ОМ2 +... + ХкОМк, Я,>0, Я2>0, Хк^0, Xi + X2+...+Xk=l}.

Выпуклая оболочка всегда является выпуклым множеством.

Если выпуклое множество содержит точки Mi, Мъ Мк, то оно содержит и всю выпуклую оболочку этих точек.

3.14. Крайние точки выпуклых множеств

Точка Р выпуклого множества V в л-мерном пространстве называется крайней, если она не может быть серединой отрезка, концы которого лежат в множестве V, т. е. если не существует точек Мі, М2 є V, М ФМ2 таких, что

ОР=  ОМ,+- ОМг. 2 2

Например, множество V— {М (х, у)€ eR \х)^а, у)^а, а>0} имеет четыре крайние точки: Л/, (а; а), Мг ( — а; а), Мъ (—а; -а), М, (а; -а) (рис. 3.4).

Выпуклая оболочка п-мерных точек Ми          Рис 3.4

М2,     Мк имеет лишь конечное число крайних точек и совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Непустое выпуклое компактное множество в R" имеет крайние точки.