Справочник по математике для экономистов

Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная

Пусть функция y~f(x) определена в некоторой окрестности точки X.

Первой производной (производной первого порядка) функции / (х) в точке л: называют конечный предел отношения приращения функции Ау=А/(х) к приращению аргумента Ах при условии, что Ах стремится к нулю. Обозначения производной:

■   .   <»/(*> dy

f (x),yx.y» ——, —.

ax ax

 

Таким образом,/^ (x) = lim — = lim         —.

ix .о Ai   дх-»о A*

Если в некоторой точке х  lim — = оо (+ со, — со) и функция

А*-о Ал

/ (х) непрерывна в точке х, то говорят о наличии у этой функции в точке х «бесконечной производной»/' (х) = со (+00, — 00). Конечные или бесконечные пределы

 

J_ (x)= lim       и f+ (x)= lim  

 

называют соответственно левой и правой производными функции /(х) в точке X.

Функция / (х) имеет в точке х производную/"' (х) тогда и только тогда, когда односторонние производные /_ (х) и/+ (х) существуют и совпадают, т. е./' (x)=f^ (x)=f+ (х).

Операцию нахождения производной f (х) называют операцией дифференцирования функции / (х).

О Примеры.

1. Функция f(x) — x2 имеет конечную производную при любом действительном х. Действительно, при любом х имеем /' (х)=іті і-     -           = lim    y—L = lim (2х+Дх)=2х.

І

Функция/ (л) = 3-Jx имеет в точке jc = 0 бесконечную производную. В самом деле,

r-rtft    у    Vo+Ax-0               1 .

/ (0)=lim        = lim —           = + оо.

Функция / (х)=см не имеет в точке х = 0 производной, хотя в этой точке существуют конечные односторонние производные. В самом деле,

 

/+ (0)= lim —            = lim -— = 1;

дх-.+о     ах       дх~.+о Аг

Ю+Адг| -Ддг

/_ (0)= lim      = lim    = -1

ir-,-0     Дх       &x-*~a Л*

(см. п. 4.11), но/_(0)*/+ (0). •