Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску

 

Покажите в общем, что свойства функции полезности U(x), касающиеся отношения к риску лица, принимающего решение, сохраняются лишь при положительном линейном преобразовании.

Пусть U(x) будет любой функцией полезности со следующими свойствами:5

Нерасположенность к риску:     Ux > О,   Uxx < 0.

Расположенность к риску:          Ux > 0,   Uxx > 0.

Нейтральность к риску:   Ux > 0,   Uxx = 0.

Пусть F(U(x)) будет любым положительным монотонным преобразованием

F = F(U(x))   с   Fu>0. (2.11)

Формула, данная через U(x), представляет отношение к риску, не варьирующееся по отношению к положительному монотонному преобразованию, если сохраняется абсолютная и относительная нерасположенность к риску. Необходимым и достаточным условием для этого является постоянство коэффициента Эрроу—Пратта

ARA = -^p = -^p. (2.12)

U х      гX

Давайте рассмотрим преобразованную функцию полезности F(x) = F(U(£)) и рассчитаем первую и вторую производные. При

Fx =FVUX>Q

и

Fxx = Fuv (Ux)2 + Fv Uxx мы получим для объема риска

Fxx _   Fuv (Uxf _ Fv Uxx _ Fx ~      FVUX FVUX Fuu (Uxf Uxx Fu Ux        Ux ■

Это выражение лишь тогда соответствует -UTX/UX, когда первый член в правой части приравнивается к нулю. Благодаря тому что Ux > 0 для всех видов отношения к риску и Fu > 0, в соответствии с условием (2.11) это требует того, что

Fuu = 0   и, следовательно,   Fu = а. (2.13)

Свойство (2.13) характеризует положительное монотонное линейное преобразование

5 Ux (Uxx) является первой (второй) производной функции полезности U, Fx (Fxx) первой (второй) производной функции F по х. Fu и Fuu образуются через соответствующие производные F по U.

F(U(x.)) = Ь + aU(x)   при любом 6,

так что лишь для этого вида преобразования верно

 

F U RRA = -.-?■       = -і- —+'

 

2.2.4. Избранные правила преобразования

 

Предположим, что U(.1) > 0 и .? > 0. Как изменяется коэффициент Эрроу—Пратта, измеряющий отношение к риску, если функция полезности U(x) = 10 + х° 5 преобразуется согласно следующим правилам?

F(U{.f)) = 20+(U(x)f.

F(U(x)) = 10+ (V(.?))°-5.

F(U(x)) = 100 + 2000 U{.г).

 

Задача решается в два этапа. Сначала мы определяем коэффициент Эрроу— Пратта для исходной функции U(х)

 

После этого вычислим величину риска преобразованных функций и сравним все результаты с величинами эталона (2.14).

1. Для функции

F(i) = F(U(x)) = 20 + (10 + і:"-5)2

мы получаем при

Fx = Ю.т-°'5 + 1

 

F,,r = -5J-1'

показатель риска, равный

 

■" 1

ARA =

10.7--°"> + 1     2.7- + 0.2І-1 5 '

Абсолютная нерасположенность к риску стала меньше, и относительная нерасположенность к риску из-за RRA = xARA тоже уменьшилась.

Расчет коэффициента Эрроу—Пратта дает

0.252 (U(x))~lr'х~1 +0.125 (I/fi))-0'5*-1-5

0.25 (1/(з:))"0-55-0-5

_    0.25        _1_        0.25 J_

~ U{x)x°* + 2Ї = 10 i0-5 +x + 27'

ARA и RRA благодаря преобразованию увеличились.

Функция

F(U(x)) = 100+ 2000 (10 +0.5.т0'5) имеет с производными

Fx = 2000 Ux = 2000 ■ 0.5 і-0-5, Fxx = 2000 Uxx = 1000 • (-0.5) ж"15

коэффициент Эрроу—Пратта

Fxx _   -500 х"1 5 _ 1 ~~Fl~ ~ ~ 1000г> ~ W

Абсолютная и относительная нерасположенность к риску не затронуты преобразованием.